Лекция по теме Системы счисления.

Система счисления - это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.
Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные. В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных — не зависит.

Примером непозиционной системы, которая сохрани­лась до наших дней, может служить римская система счисления, которая начала применяться более двух с поло­виной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежат знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладо­ни) для числа 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 используются латинские буквы С, D и М. 

При записи чисел в римской системе счисления при­меняется правило: каждый меньший знак, поставлен­ный слева от большего, вычитается из него, в осталь­ных случаях знаки складываются. Например, римское число IX обозначает 9 (-1 + 10), а XI обозначает 11 (10 + 1). Число 99 имеет следую­щее представление в римской системе счисления: XCIX = -10 + 100 - 1 + 10.

Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит цифр и основание. Основание системы равно количеству цифр (зна­ков) в ее алфавите.

В позиционных системах счисления количественное зна­чение цифры зависит от ее позиции в числе. Позиция циф­ры в числе называется разрядом. Разряды числа возрастают справа налево, от младших разрядов к старшим, причем значения одинаковых цифр, стоящих в соседних разрядах числа, различаются на величину основания.

В настоящее время наиболее распространенными пози­ционными системами счисления являются десятичная и двоичная. Десятичная система счисления имеет алфавит цифр, который состоит из десяти всем известных, так назы­ваемых арабских цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Алфавит двоичной системы — две цифры {0, 1}.

 

Числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1.

Например, развернутая запись двоичного числа выгля­дит следующим образом:

А₂  =1*2²+0*2¹+1*2⁰+0*2^-1+1*2^-2

Это же число в свернутой форме:

А₂  = 101,01₂.

Умножение или деление двоичного числа на 2 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной, на один разряд соответственно вправо или влево.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в деся­тичную систему счисления. Преобразование чисел из двоич­ной системы счисления в десятичную выполнить довольно легко. Для этого необходимо записать двоичное число в раз­вернутой форме и вычислить его значение.

Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.

Алгоритм перевода целого десятичного числа в двоичное следующий:

1) последовательно выполнять деление исходного целого десятичного  числа  и  получаемых  целых  частных  на основание системы счисления (на 2) до тех пор, пока ча­стное от деления не окажется равным нулю;

2) получить искомое двоичное число, для чего записать по­лученные остатки в обратной последовательности.

Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисле­ния.

Алгоритм перевода десятичной дроби в двоичную сле­дующий:

1) последовательно выполнять умножение исходной деся­тичной дроби и получаемых дробей на основание систе­мы (на 2) до тех пор, пока не получим нулевую дробную часть или не будет достигнута требуемая точность вы­числений;

2)  получить искомую двоичную дробь, записав полученные целые части произведений в прямой последовательности.

Перевод чисел, содержащих и целую, и дробную часть, производится в два этапа. Отдельно переводится по соответ­ствующему алгоритму целая часть и отдельно — дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть от дроб­ной отделяется запятой.